Introduccion

No es posible diagonalizar la matriz de amortiguamiento (como se realizo para las matrices $[M]$ y $[S]$)

En el caso del analisis modal podemos transformar el sistema a coordenadas modales suponiendo que no existe amortiguamiento, para luego resolver el problema modal con el amortiguamiento especificado en cada uno de los modos, y posteriormente transformar la respuesta amortiguada a coordenadas de estructura.
En el caso de integración directa tenemos que encontrar una manera de determinar una matriz de amortiguamiento $[C]$ que nos permita caracterizar la respuesta amortiguada que estamos buscando modelar. Para esto podemos:
- Utilizar una matriz de amortiguamiento proporcional a la masa
- Utilizar una matriz de amortiguamiento proporcional a la rigidez
- Utilizar una matriz de amortiguamiento proporcional a la masa + rigidez (Amortiguamiento de Rayleigh)
- Utilizar el procedimiento generalizado

Amortiguamiento de Rayleigh

nse-9138761735069443820-Amortiguamiento de Rayleigh_220503_125744_1.jpg.jpg

nse-611868082228077337-Amortiguamiento de Rayleigh_220503_125744_2.jpg.jpg

Determinación general del amortiguamiento

nse-2186734206586276655-Amortiguamiento generalizado_220502_221534.jpg.jpg

Calculo de la matriz general de amortiguamiento

Se va a resolver el mismo ejercicio planteado en el metodo de integracion directa:

nse-3678341299775061450-Ejercicio MDOF con Amortiguamiento_220503_122311_1.jpg.jpg

nse-4571396933932766652-Ejercicio MDOF con Amortiguamiento_220503_122311_2.jpg.jpg

Calculamos la respuesta del sistema utilizando el amortiguamiento de Rayleigh

MDOF Solucion de EOM acopladas
clear variables
clc

% Datos
% h = [h1 h2 ... hn]
h1=6.5; %[m] Altura de entrepiso
h2=5; %[m] Altura de entrepiso
h3=3; %[m] Altura de entrepiso
b=5; %[m] Longitud de la viga

gamma_h=2400; %[kg/m3] Peso especifico del concreto
W_lin1=156.87; %[kg/m] Peso lineal de la columna 1
W_lin2=114.03; %[kg/m] Peso lineal de la columna 2
W_lin3=77.64; %[kg/m] Peso lineal de la columna 3
Wcm=325; %[kg/m2]

e_losa=0.15; %[m]
Area=15*15; %[m2]

m_losa=e_losa*Area*gamma_h/2;
m_cm=Wcm*Area/2;

m1=2*(W_lin1*h1/2+W_lin2*h2/2);
m2=2*(W_lin2*h2/2+W_lin3*h3/2);
m3=2*(W_lin3*h3/2);

m1=m_losa+m_cm+m1;
m2=m_losa+m_cm+m2;
m3=m_losa+m_cm+m3;

E=200*10^9; %[Pa]

I1=788.710*10^6; %[mm4]
I2=457.446*10^6; %[mm4]
I3=220.325*10^6; %[mm4]

I1=I1*(1/1000)^4; %[m4]
I2=I2*(1/1000)^4; %[m4]
I3=I3*(1/1000)^4; %[m4]

k1=2*12*E*I1/h1^3;
k2=2*12*E*I2/h2^3;
k3=2*12*E*I3/h3^3;

xi_modo1=0.04;
xi_modo2=0.02;

% Definimos la carga
F3=5000; %[N]
w=2*pi; %Frecuencia de la carga
T=2*pi/w

Calculos

S=[k1+k2     -k2     0
   -k2      k2+k3   -k3
    0        -k3     k3]; % Matriz de rigidez

M=blkdiag(m1,m2,m3);

Calculo de las propiedades dinamicas
A=M^-1*S;

[fi_hat,omega2]=eig(S,M);
wn=sqrt(omega2);
Tn=2*pi./wn

% Normalizamos los vectores para los desplazamientos de la primera masa

fi=zeros(size(fi_hat));

for i=1:length(fi)
    fi(:,i)=fi_hat(:,i)/(fi_hat(:,1)'*M*fi_hat(:,1))^0.5;
end

Calculo de la matriz de amortiguamiento

% Resolvemos el sistema de EQ para obtener los coeficientes
alfa=2*[1/wn(1,1),wn(1,1);1/wn(2,2),wn(2,2)]^-1*[xi_modo1;xi_modo2]

% Calculamos la matriz de amortiguamiento

C=alfa(1,1)*M+alfa(2,1)*S

xi_modo3=1/2*(alfa(1,1)/wn(3,3)+alfa(2,1)*wn(3,3))

Procedimiento de integracion Numerica
dt=0.005;
t=(0:dt:25);
P=zeros(3,length(t));
P(3,:)=F3*sin(w*t);
u0=[0 0 0]';
v0=[0,0,0]';
[xt,vt,at,~,~]=Diferencia_Central_MDOF(M,C,S,P,t,dt,u0,v0);

t1=t;

plot(t,xt(1,:))
hold on
plot(t,xt(2,:))
hold on
plot(t,xt(3,:))
grid on
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [m]')
set(gcf,'Visible','on','position',[0 0 1920 1080])

Untitled

Calculamos la respuesta del sistema utilizando el amortiguamiento de Generalizado

MDOF Solucion de EOM acopladas
clear variables
clc

% Datos
% h = [h1 h2 ... hn]
h1=6.5; %[m] Altura de entrepiso
h2=5; %[m] Altura de entrepiso
h3=3; %[m] Altura de entrepiso
b=5; %[m] Longitud de la viga

gamma_h=2400; %[kg/m3] Peso especifico del concreto
W_lin1=156.87; %[kg/m] Peso lineal de la columna 1
W_lin2=114.03; %[kg/m] Peso lineal de la columna 2
W_lin3=77.64; %[kg/m] Peso lineal de la columna 3
Wcm=325; %[kg/m2]

e_losa=0.15; %[m]
Area=15*15; %[m2]

m_losa=e_losa*Area*gamma_h/2;
m_cm=Wcm*Area/2;

m1=2*(W_lin1*h1/2+W_lin2*h2/2);
m2=2*(W_lin2*h2/2+W_lin3*h3/2);
m3=2*(W_lin3*h3/2);

m1=m_losa+m_cm+m1;
m2=m_losa+m_cm+m2;
m3=m_losa+m_cm+m3;

E=200*10^9; %[Pa]

I1=788.710*10^6; %[mm4]
I2=457.446*10^6; %[mm4]
I3=220.325*10^6; %[mm4]

I1=I1*(1/1000)^4; %[m4]
I2=I2*(1/1000)^4; %[m4]
I3=I3*(1/1000)^4; %[m4]

k1=2*12*E*I1/h1^3;
k2=2*12*E*I2/h2^3;
k3=2*12*E*I3/h3^3;

xi_modo1=0.04;
xi_modo2=0.02;
xi_modo3=0.02;

% Definimos la carga
F3=5000; %[N]
w=2*pi; %Frecuencia de la carga
T=2*pi/w

Calculos

S=[k1+k2     -k2     0
   -k2      k2+k3   -k3
    0        -k3     k3]; % Matriz de rigidez

M=blkdiag(m1,m2,m3);

Calculo de las propiedades dinamicas
[fi_hat,omega2]=eig(S,M);
wn=sqrt(omega2);
Tn=2*pi./wn

% Normalizamos los vectores para los desplazamientos de la primera masa

fi=zeros(size(fi_hat));

for i=1:length(fi)
    fi(:,i)=fi_hat(:,i)/(fi_hat(:,1)'*M*fi_hat(:,1))^0.5;
end

Calculo de la matriz de amortiguamiento

% Calculamos el velor de la matriz de amortiguamiento en coordenadas
% modales
C_hat=blkdiag(2*xi_modo1*wn(1,1),2*xi_modo2*wn(2,2),2*xi_modo3*wn(3,3));

% Convertimos las coordenadas de la matriz
C=M*fi*C_hat*fi'*M

fi'*C*fi
fi'*S*fi
fi'*M*fi

Procedimiento de integracion Numerica
dt=0.005;
t=(0:dt:25);
P=zeros(3,length(t));
P(3,:)=F3*sin(w*t);
u0=[0 0 0]';
v0=[0,0,0]';
[xt,vt,at,~,~]=Diferencia_Central_MDOF(M,C,S,P,t,dt,u0,v0);

t1=t;

plot(t,xt(1,:))
hold on
plot(t,xt(2,:))
hold on
plot(t,xt(3,:))
grid on
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [m]')
set(gcf,'Visible','on','position',[0 0 1920 1080])

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