La teoría de pandeo en columnas data de 1744 y fue desarrollada por Leonhard Euler.
Consideramos un miembro esbelto sometido a una carga axial en compresión como el indicado en la figura $a)$. Si la carga axial es aplicada lentamente eventualmente el elemento va ser inestable y va a pandear, la carga axial asociada a esta inestabilidad es llamada la carga critica de pandeo. Si el miembros no fuera esbelto, como el indicado en la figura $b)$, se requeriría una carga mucho mayor para inducir la inestabilidad (o incluso podría llegar a fluir antes de pandear).
La carga critica de pandeo es definida como:
$$ P_{cr}=\frac{\pi^2EI}{L^2} $$
Donde,
$E$ es el modulo de elasticidad del elemento
$I$ es el momento de inercial de la sección transversal referida al eje menor principal
$L$ es la longitud entre soportes del elemento
Para que esta ecuación sea valida, el elemento debe mantenerse elástico y las condiciones de frontera deben ser la especificadas en la figura.
https://www.youtube.com/watch?v=21G7LA2DcGQ&t=783s&ab_channel=TheEfficientEngineer
La ecuación diferencial que da forma a la elástica del elemento es:
$$ \frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{M}{EI} $$
Donde $x$ denota cualquier punto a lo largo del elemento y $y$ y es la deflexión y momento en ese punto. En este caso el momento de inercia $I$ es tomado alrededor del eje de flexion del elemento.
Si nos ubicamos en el punto que ocurre el pandeo, el momento es:
$$ M=P_{cr}y $$
Por lo tanto la ecuación diferencial puede ser escrita como:
$$ y''+\frac{P_{cr}}{EI}y=0 $$
Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, misma que puede ser resulta con el metodo de coeficientes asumiendo la siguiente solución:
$$ y=A \cos(cx)+B \sin(cx) $$