Por lo general las estructuras tienen que resistir cargas aplicadas entre los nudos del sistema. Existen tres posibilidades:
Una forma de tratar a las cargas intranodales consiste en insertar nudos “artificiales” como se muestra en la figura $a)$. Esto implica incrementar el grado de indeterminacion cinematica del sistema, y por lo tanto trabajar con una matriz de mayor tamaño.
En el caso de tratarse de cargas distribuidas una posibilidad (aproximada) consiste en discretizar la carga en nudos intermedios y tratarla como multiples cargas puntuales intranodales, Las cargas discretizadas deben ser estaticamente equivalentes a la carga distribuida que se busca reemplazar.
<aside> 💡 El uso de nudos intermedios produce la solucion incrementa substancialmente el grado de complejidad de lo solucion analitica y genera, en el caso de cargas distribuidas, unsa solucion aproximada.
</aside>
Adicionalmente se puede tratar al problema como un conjunto de cargas ficticias en la estructura restringida. Esto es explicado mediante el siguiente ejemplo:
Producto del principio de superposicion sabemos, que en un sistema lineal elastico, podemos tratar al sistema como la suma individual de los diversos estados de carga. Por lo tanto podemos decir que el sistema real es igual a la suma del sistema empotrado y el sistema equivalente, donde:
Si sumamos el sistema empotrado con el sistema equivalente, podemos ver que se mantiene el equilibrio estatico de las acciones externas, donde las cargas de empotramiento son anluadas por las cargas equivalentes de nudo; de esta forma se mantiene el equilibrio del sistema.
De igual manera, si observamos a la estructura deformada, podemos ver que en el caso del sistema empotrado no existen deformaciones en los nudos de la estructura mientras que en el sistema equivalente las deformaciones de los nudos corresponden a las deformaciones de la esstructura real. Podemos concluir que al introducir restricciones ficticias de desplazamiento en el sistema empotrado y dejar los grados de libertad sin alterra en el sistema equivalente, se mantiene la compatibilidad de deformaciones del sistema.
<aside> 💡 Es importante distingir que las cargas de empotramiento $A^{FE}$ son ficticias.
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Para considerar el efecto de las cargas nodales equivalentes en la solucion de los desplazamientos podemos adicionar a la ecuacion de acciones el termino $[A_J^{FE}]$, corresponediente a las acciones de nudo producto de las cargas de empotramiento perfecto
$$ [A_J]=[S_J][D_J]+[A_J^{FE}] $$
De esta forma el vector $[A]$ contiene las fuerzas reales aplicadas a los nudos, y el vector $[A_{FE}]$ contiene las cuerzas idealizadas producto de la idealizacion de empotramiento perfecto.
La ecuacion de acciones puede ser particionada de la siguiente manera:
$$ \begin{bmatrix} A_F\\ A_R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_{FF}&S_{FR}\\ S_{RF}&S_{RR} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} D_F\\ D_R \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} A_F^{FE}\\ A_R^{FE} \end{bmatrix} $$
$$ [A_F]=[S_{FF}][D_F]+[S_{FR}][D_R]+[A_F^{FE}] $$
$$ [D_F]=[S_{FF}]^{-1} \times (\underbrace{[A_F]-[A_F^{FE}}{[A_F^C]}]-[S{FR}][D_R]) $$
Donde $[A_F]-[A_F^{FE}]$ representa el vector de cargas combinadas del sistema.
Las reacciones del sistema son obtenidas utilizando la siguiente expresion:
$$ [A_R]=[S_{RF} \space S_{RR}][D_J]+[A_R^{FE}] $$
Para considerar las acciones internas en los elementos realizamos la misma modificacion a la ecuacion de acciones:
$$ [a]=[S_M][d]+[a^{FE}] $$
