La modelos (o relaciones) constitutivas establecen la relación que existe entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias en la estructura. Es decir, si yo someto a la estructura a un grupo de acciones (fuerzas o momentos) esta se va a deformar (axialmente, en flexion, o torsion), y estos efectos se encuentra correlacionadas.
Distintos materiales van a tener un comportamiento distinto ante las cargas dependiendo de las propiedades del material y la dirección de la carga. El modelo constitutivo describe el comportamiento de un material bajo la accion de una carga.
Suponemos que tenemos un elemento el cual esta sujeto a una accion axial, es decir una fuerza aplicada en la misma dirección al elemento.
Si cortamos el elemento en algún punto arbitra de su longitud de forma perpendicular a la carga axial, existen un conjunto de acciones internas que equilibran al sistema. Al conjunto de estas acciones las conocemos como esfuerzos, y estan definidos como:
$$ \sigma=\frac{P}{A} $$
Las unidades del esfuerzo son $[M][L]^{-1}[T]^{-2}$. En el sistema internacional se miden con $Pa$.
Con la aplicación de la carga el elemento sufre una deformación a lo largo de su longitud. La deflexión del elemento $\delta$ es el resultado de la deformacion acumulativa de todas las particulas del material a lo largo de su volumen. Por lo tanto podemos concluir que la deformacion unitaria de culquier segmento del elemento esta dada por:
$$ \epsilon=\frac{\delta}{L} $$
Podemos ver que la deformación unitarias es adimensional.
Las definiciones de esfuerzos y deformaciones unitarias están basadas en principios de equilibrio y geometría, por lo tanto pueden ser aplicadas a cualquier sección, geometría, o material.
Para la definición del modelo uniaxial se asume que la fuerza es aplicada en el centroide de la sección transversal (a lo largo de la linea de accion).
Si ensayamos un elemento compuesto de un material especifico, podemos obtener la relación entre la aplicación de la carga y la deformación es representada a traves de un diagrama esfuerzo/deformación unitaria.
Normalmente se idealiza el diagrama como lineal hasta un punto denominado el limite de proporcionalidad.
Existen varias idealizaciones en función del tipo de comportamiento que se busca caracterizar, por ejemplo las indicadas en la figura:
Cuando se esta caracterizando el comportamiento como lineal elástico, asumimos que la relación entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias es constante, por lo tanto:
$$ E=\frac{\sigma}{\epsilon} $$
A esta relación se la conoce como el modulo de elasticidad, o el modulo de Young.
<aside> 💡 Donde el modulo de elasticidad $E$ es el modelo constitutivo que relaciona los esfuerzos $\sigma$ con las deformaciones unitarias $\epsilon$
</aside>
Si reemplazamos los valores de esfuerzos y deformaciones unitarias en la ecuación constitutiva, obtenemos:
$$ \frac{P}{A}=E\space \frac{\delta}{L} $$
$$ \delta = P\space \frac{L}{AE} \qquad o \qquad P=\delta \space \frac{AE}{L} $$
Donde podemos decir: