La ecuación de movimiento (EOM) que gobierna un sistema de un grado de libertan ante la respuesta de un sismo esta dada por:
$$ \ddot{x}+2\xi \omega_n \dot{x}+\omega_n^2x=-\ddot{x}_g(t) $$
<aside> 💡 Podemos ver que la respuesta para un registro de aceleración especifico $\ddot{u}_g(t)$ la respuesta del sistema depende de las propiedades intrínsecas del sistema: masa, rigidez, y amortiguamiento
</aside>
Esto implica que dos sistemas que tengan el mismo valor de $T_n$ y $\xi$ van a tener exactamente la misma respuesta irrelevante de la masividad o rigidez de los mismos.
Como ingenieros estructurales el parámetro mas relevante para caracterizar la respuesta de la estructura ante un registro sísmico es el desplazamiento relativo de la estructura con el suelo $u(t)$. Los esfuerzos internos en la estructura se encuentran asociados con dicho desplazamiento.
El desplazamiento total del sistema, $u^t(t)$ puede ser util para determinar el tamaño de las juntas requeridas con el fin de evitar golpes entre estructuras adyacentes.
Adicionalmente, el parámetro de aceleración total $\ddot{x}^t_g(t)=\ddot{x}(t)+\ddot{x}_g$ nos puede servir para determinar las fuerzas inerciales inducidas en los componentes no estructurales de la estructura.
En la siguiente grafica se muestra la respuesta $u(t)$ de dos sistemas de 1GDL con $\xi=0.020$ para periodos naturales $T_n=0.50s$ y $T_n=2.00s$. Podemos ver que las diferencias entre las respuestas dependen exclusivamente de las diferencias del periodo de la estructura. Adicionalmente, podemos observar que en la respuesta de cada sistema, el tiempo requerido para generar un ciclo de vibración con la carga sísmica es muy cercano al periodo de vibración de la estructura (esto puede ser probado con teoría de vibraciones randomicas).
Tambien podemos ver en la grafica el efecto del amortiguamiento en el sistema. A mayor amortiguamiento menor es la respuesta esperada.
<aside> 💡 De manera general podemos ver que la respuesta de desplazamientos tiende a incrementarse a medida que se incrementa el $T_n$ y tiende a decrementar a medida que se reduce $\xi$. Pero como podemos ver en el caso de APED_N, existen excepciones.
</aside>
% Cargar registros de Pedernales y comparar la respuesta en el tiempo para
% diferentes valores de Tn y xi (Similar al los diagramas de chopra)
clear variables
clc
% Cargamos el registro
filename='NGA181_ImperialValley06_ElCentroArray6_230.txt';
headerlinesIn=4;
EQ=Leer_Registro_NGA(filename,headerlinesIn);
% Establecemos los periodos que buscamos calcular
Tn=[0.5 1 2];
wn=2*pi./Tn;
m=1;
k=wn.^2*m;
% Establecemos los ratios de amortiguamientos critico que queremos calcular
xi=[0 0.02 0.05];
% Calculamos la carga sismica efectiva
Peff=-m*EQ.A;
% Calculamos la respuesta con la funcion de la Piecewise
% [xt,vt,at,coef,Tabla] = Time_Stepping(m,k,xi,t,P,delta_t,x0,v0)
% Calculamos con un amortiguamiento constante de 0.02 la respuesta para los tres periodos
for i=1:length(Tn)
[xt] = Time_Stepping(m,k(1,i),xi(1,2),EQ.t,Peff,EQ.dt,0,0);
R1(i,:)=xt;
end
% Calculamos con un periodo natural constante de 2s la respuesta para los
% multiples amortiguamientos
for i=1:length(xi)
[xt] = Time_Stepping(m,k(1,3),xi(1,i),EQ.t,Peff,EQ.dt,0,0);
R2(i,:)=xt;
end
Lim=70
% Graficamos la respuesta
subplot(3,2,1)
R=R1(1,:)*981;
plot(EQ.t,R)
hold on
[~,idx]=max(R);
[~,idx2]=min(R);
plot(EQ.t(idx),R(idx),'or')
text(EQ.t(idx)+3,R(idx)+10,['Max = ' num2str(round(R(idx),0))])
plot(EQ.t(idx2),R(idx2),'or')
text(EQ.t(idx2)+3,R(idx2)-10,['Min = ' num2str(round(R(idx2),0))])
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
title('Respuesta para T=0.50s y xi=0.02')
ylim([-Lim Lim])
subplot(3,2,3)
R=R1(2,:)*981;
plot(EQ.t,R)
hold on
[~,idx]=max(R);
[~,idx2]=min(R);
plot(EQ.t(idx),R(idx),'or')
text(EQ.t(idx)+3,R(idx)+10,['Max = ' num2str(round(R(idx),0))])
plot(EQ.t(idx2),R(idx2),'or')
text(EQ.t(idx2)+3,R(idx2)-10,['Min = ' num2str(round(R(idx2),0))])
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
title('Respuesta para T=1.0s y xi=0.02')
ylim([-Lim Lim])
subplot(3,2,5)
R=R1(3,:)*981;
plot(EQ.t,R)
hold on
[~,idx]=max(R);
[~,idx2]=min(R);
plot(EQ.t(idx),R(idx),'or')
text(EQ.t(idx)+3,R(idx)+10,['Max = ' num2str(round(R(idx),0))])
plot(EQ.t(idx2),R(idx2),'or')
text(EQ.t(idx2)+3,R(idx2)-10,['Min = ' num2str(round(R(idx2),0))])
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
title('Respuesta para T=2.0s y xi=0.02')
ylim([-Lim Lim])
subplot(3,2,2)
R=R2(1,:)*981;
plot(EQ.t,R)
hold on
[~,idx]=max(R);
[~,idx2]=min(R);
plot(EQ.t(idx),R(idx),'or')
text(EQ.t(idx)+3,R(idx)+10,['Max = ' num2str(round(R(idx),0))])
plot(EQ.t(idx2),R(idx2),'or')
text(EQ.t(idx2)+3,R(idx2)-10,['Min = ' num2str(round(R(idx2),0))])
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
title('Respuesta para T=2.0s y xi=0.00')
ylim([-Lim Lim])
subplot(3,2,4)
R=R2(2,:)*981;
plot(EQ.t,R)
hold on
[~,idx]=max(R);
[~,idx2]=min(R);
plot(EQ.t(idx),R(idx),'or')
text(EQ.t(idx)+3,R(idx)+10,['Max = ' num2str(round(R(idx),0))])
plot(EQ.t(idx2),R(idx2),'or')
text(EQ.t(idx2)+3,R(idx2)-10,['Min = ' num2str(round(R(idx2),0))])
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
title('Respuesta para T=2.0s y xi=0.02')
ylim([-Lim Lim])
subplot(3,2,6)
R=R2(3,:)*981;
plot(EQ.t,R)
hold on
[~,idx]=max(R);
[~,idx2]=min(R);
plot(EQ.t(idx),R(idx),'or')
text(EQ.t(idx)+3,R(idx)+10,['Max = ' num2str(round(R(idx),0))])
plot(EQ.t(idx2),R(idx2),'or')
text(EQ.t(idx2)+3,R(idx2)-10,['Min = ' num2str(round(R(idx2),0))])
xlabel('Tiempo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
title('Respuesta para T=2.0s y xi=0.05')
ylim([-Lim Lim])
sgtitle(filename)
set(gcf,'Visible','on','position',[0 0 1920 1080])
NOTA: Poner una grafica del contenido frecuencial del registro sísmico)
Una vez que la respuesta $u(t)$ es calculada, se pueden determinar las acciones internas en el sistema para cada instante de tiempo. (Es importante recordar que $u(t)$ corresponde a las deformaciones relativas del sistema). Las acciones de los elementos (momentos, cortantes, y cargas axiales) pueden ser determinadas a partir de estática en cada instante del tiempo, esto puede ser concebido utilizando cualquiera de las siguientes idealizaciones:
Utilizando el concepto de la fuerza estática equivalente (Este es el mismo conceto que utilizan los códigos de diseño sismorresistente):
$$ f_s(t)=ku(t) $$
$$ \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}} $$
$$ k=m\times \omega_n^2 $$
$$ f_s(t)=m\times \omega_n^2 \times x(t)=m \times A(t) $$
Donde el componente $A(t)=\omega_n^2 \times u(t)$ es conocido como la pseudo aceleración. Se la conoce así porque tiene unidades $[L][T]^{-2}$.
<aside> 💡 Es importante notar que la pseudo aceleración $A(t)$ no es lo mismo que la aceleración total $u^t(t)$. Sin embargo, para valores de $\xi$ pequeños y periodos cortos, estos valores son muy similares.
</aside>
Para el portico mostrado en la figura:
$$ V_b(t)=f_s(t) $$
$$ M_b(t)=f_s(t)\times h $$
El espectro respuesta corresponde a las máximas aceleraciones, velocidades, y desplazamientos de un sistema de sistema de 1 GDL con un amortiguamiento especifico para un registro sísmico.
El espectro respuesta es una metodología practica que nos permite representar la respuesta de un sistema ante un movimiento sísmico.
<aside> 💡 Usualmente las respuestas máximas ocurren durante el movimiento del suelo, sin embargo en estructuras muy flexibles los máximos valores pueden llegar a presentarse en la fase de vibración libre.
</aside>
En el espectro respuesta se dibujan en las ordenadas verticales las respuestas pico (de la amplitud de la respuesta seleccionada, ie. aceleración, velocidad, o desplazamiento) y en las ordenadas horizontales se dibujan los periodos naturales $T_n$ de los sistemas de 1 GDL. Cada grafico del espectro respuesta es de un registro especifico con un amortiguamiento especifico del sistema.
Las siguientes respuestas pueden ser graficadas:
$$ x_{max}(T_n,\xi) \equiv max|u(t,T_n,\xi)| $$
$$ \dot{x}_{max}(T_n,\xi) \equiv max|\dot{u}(t,T_n,\xi)| $$
$$ \ddot{x}^t_{max}(T_n,\xi) \equiv max|\ddot{u}^t(t,T_n,\xi)| $$
Las cantidades representadas en la ecuación corresponden a:
<aside> 💡 Normalmente solo se determina el espectro respuesta de deformación relativa, y a partir de este espectro se calculan espectros de pseudo velocidad y pseudo aceleracion. Como se menciona anteriormente estos espectros son muy parecidos para sistemas con amortiguamientos bajos y periodos cortos.
</aside>
Solamente el espectro de deformación $u(t)$ es requerido para determinar las fuerzas internas en el sistema. Sin embargo se introducen los conceptos de los pseudo espectros de velocidad y aceleración por su utilidad para estudiar el comportamiento dinámico del sistema y poder generar ayudas (simplificaciones) de diseño.
Como se vio anteriormente:
$$ A(t)=\omega_n^2 \times u(t) $$
$$ A=\omega_n^2 D $$
Una de las principales utilidades del pseudo espectro de aceleración es que nos permite relacionar las fuerzas de la estructura con los valores obtenidos con el espectro de desplazamientos:
$$ V_{BASE}=f_s=mA=\frac{A}{g}w $$
<aside> 💡 Donde podemos concluir que el cortante basal es igual al coeficiente de fuerza lateral multiplicada por el peso del sistema.
</aside>
Esto es indica que el espectro de pseudo aceleración es igual al espectro de desplazamientos multiplicado por la frecuencia natural elevada al cuadrado.
Si establecemos la misma ecuación para el pseudo espectro de velocidad, tenemos:
$$ V=\omega_nD $$
Podemos ver que al multiplicar $\omega_nD$ obtenemos unidades $[L][T]^{-1}$. Al no ser esta una representación física del comportamiento dinámico del sistema lo llamamos pseudo espectro de velocidad. A pesar de que el pseudo espectro de velocidad no nos indique algo respecto al comportamiento dinámico de la estructura, este relaciona el valor pico de deformación unitaria $E_{SO}$ almacenado en el sistema durante la excitación sísmica:
$$ E_{SO}=\frac{ku_{max}^2}{2}=\frac{kD^2}{2}=\frac{kV}{\omega_n^2 2} $$
$$ E_{SO}=\frac{mV^2}{2} $$
% Ejercicio de espectros con la funcion de la beta de newmark
clear variables
clc
% Cargamos el registro sismico
filename='NGA181_ImperialValley06_ElCentroArray6_140.txt';
% Generamos la clase del registro
E=Leer_Registro_NGA(filename,4);
% Calculamos los valores de PGA, PGV, PGD
E.peak_ground;
Tn=(0:0.01:5);
% [Sd,Sa,Sv,Pv,Pa] = Espectro_lineal(E,Tn,xi,beta,gamma)
[Sd,Sv,Sa,Pv,Pa] = Espectro_lineal_BN(E,Tn,0.05,1/4,1/2);
subplot(3,1,1)
plot(Tn,Sd*981)
xlabel('Periodo [s]')
ylabel('Desplazamiento [cm]')
grid on
subplot(3,1,2)
plot(Tn,Sv*981,'--')
xlabel('Periodo [s]')
ylabel('Velocidad [cm/s]')
grid on
hold on
plot(Tn,Pv*981)
legend('Relativa','Pseudo')
subplot(3,1,3)
plot(Tn,Sa,'--')
xlabel('Periodo [s]')
ylabel('Aceleracion [xg]')
grid on
hold on
plot(Tn,Pa)
legend('Total','Pseudo')
sgtitle({filename},'Interpreter','none')
set(gcf,'Visible','on','position',[0 0 1920 1080])
Los tres espectros contienen la misma información expresada de manera distinta.
El motivo de calcular los tres espectros es que cada uno expresa un comportamiento físico especifico:
Podemos dibujar el diagrama tripartito ya que los distintos espectros estan relacionados mediante:
$$ \frac{A}{\omega_n}=V=\omega_nD $$
$$ \frac{T_n}{2\pi}=V=\frac{2\pi}{T_n} $$
A continuation esta un programa que permite dibujar el espectro tripartito:
Para poder estudiar la diferencia entre los pseudo espectros y los espectros “reales” definimos la respuesta del oscilador de 1 GDL mediante la integral de convolución:
$$ x(t)=\int_0^t \ddot{x}_g(\tau)h(t-\tau)d\tau $$
Si reemplazamos la función de impulso, obtenemos:
$$ x(t)=-\frac{1}{\omega_D}\int_0^t \ddot{x}_g(\tau) e^{-\xi\omega_n(t-\tau)}\sin[\omega_D (t-\tau)]d\tau $$
Si derivamos esta ecuación, obtenemos:
$$ \dot{x}(t)=\frac{\xi \omega_n}{\omega_D}\int_0^t \ddot{x}_g(\tau) e^{-\xi\omega_n(t-\tau)}\sin[\omega_D (t-\tau)]d\tau-\int_0^t \ddot{x}_g(\tau) e^{-\xi\omega_n(t-\tau)}\cos[\omega_D (t-\tau)]d\tau $$
La ecuación de la aceleración la podemos obtener derivando la función de $\dot{x}(t)$ o también la podemos obtener a partir de la ecuación de equilibrio dinámico:
$$ m(\ddot{u}+\ddot{u}_g)=-c\dot{u}-ku $$
$$ \ddot{u}^t(t)=-\omega_n^2u(t)-2\xi \omega_n \dot{u}(t) $$
Los valores máximos de la respuesta son llamados desplazamiento espectral relativo $S_d$, velocidad espectral relativa $S_v$, y aceleración espectral $S_a$
$$ S_v=\left[ -\xi \omega_nx(t)-\int_0^t \ddot{x}g(\tau) e^{-\xi\omega_n(t-\tau)}\cos[\omega_D (t-\tau)]d\tau \right]{max} $$
La ecuación de pseudo velocidad consiste en:
$$ V=\omega_nD=\left[\int_0^t \ddot{x}g(\tau) e^{-\xi\omega_n(t-\tau)}\sin[\omega_D (t-\tau)]d\tau \right]{max} $$
