Los coeficientes de flexibilidad para una estructura son calculados a partir de las contribuciones individuales de cada uno de sus miembros. Por lo tanto es importante construir matrices de flexibilidad individuales. Estas matrices son requeridas para el procedimiento forma del metodo de la flexibilidad
Es necesario realizar una distinción entre los ejes correspondientes a la estructura y los ejes correspondientes a los elementos, para esto llamamos a los ejes de la estructura ejes de coordenadas globales, y a los ejes del elemento ejes de coordenadas locales.
En la figura se puede ver que cada miembro se encuentra numerado con la letra i, esta compuesto de dos nudos denominados j y k.
Los ejes $x,y,z$ corresponden a los ejes globales
Los ejes $x_m,y_m,z_m$ corresponden a los ejes locales del elemento.
Se asume que el origen de este eje ocurre en el nudo j. El eje $x_m$ esta alineado al eje del elemento y es positivo de j a k. Los ejes $y_m,z_m$ están ubicados en los planos principales de flexion del elemento.
Existen dos acciones internas a considerar en el elemento, la carga cortante $A_{M1}$ y el momento flector $A_{M2}$
La deflexion en el sentido de ym corresponde a $D_{M1}$ y la rotacion alrededor de zm corresponde a $D_{M2}$
Donde el coeficiente de flexibilidad, fij, corresponde a la deformacion en el nudo i, producto de la aplicacion de una carga virtual unitaria en el nudo j.
$F_{M11}$ Corresponde al desplazamiento vertical del nudo k que ocurre en la viga cuando la carga unitaria es aplicada en el sentido vertical del nudo k.
$F_{M12}$ Corresponde al desplazamiento vertical del nudo k que ocurre en la viga ciando la carga unitaria es aplicada como una rotacion en el sentido zm del nudo k
$F_{M21}$ Corresponde a la rotacion en el sentido zm del nudo k cuando la carga unitaria es aplicada en el sentido vertical del nudo k
$F_{M22}$ Corresponde a la rotacion en el sentido zm del nudo k cuando la carga unitaria es aplicada como una rotacion en el sentido zm del nudo k.
De manera arbitraria se supone que el nudo j se encuentra restringido y nudo k libre. Por lo tanto las acciones $[F]$ ocurren en el extremo k, y el vector de desplazamiento $[D]$ contiene los desplazamientos relativos de k con respecto a j.
Por lo tanto la matriz de flexibilidad relaciona las dos desplazamientos asociados al elemento producto de las cargas aplicadas al mismo.
$$ [D_M]=[f_M]*[A_M] $$
Esto se traduce a que si sabemos las deformaciones relativas de la barra en el nudo k, podemos calcular las fuerzas requeridas en el nudo k para que exista esta deformacion, o si sabemos las fuerzas aplicadas en el nudo k podemos calcular las deformaciones de dicho nudo.
Existen una accion internas a considerar en el elemento, la carga axial $A_{M}$
La deflexion en el sentido de xm corresponde a $D_{M}$
Donde $F_M$ corresponde a la deformacion en el sentido xm del nudo k producto de la aplicacion de la carga virtual en el el nudo k en la direccion xm
Existen tres acciones internas a considerar en el elemento, la carga axial$A_{M1}$, la carga cortante $A_{M2}$, y el momento flector $A_{M3}$.
La deflexion en el sentido de xm corresponde a $D_{M1}$, ;a deflexion en el sentido ym corresponde a $D_{M2}$, y la rotacion alrededor de zm corresponde a $D_{M3}$.
Donde podemos ver que la matriz de flexibilidad es una combinacion de las matrices de viga y barra.
