Vamos a derivar las relaciones básicas de flexión que relacionan momentos, esfuerzos, deformaciones unitarias, y curvatura. Estas pueden ser derivadas a partir de soluciones geométricas utilizando principios de calculo diferencia o pueden ser derivadas a partir de los principios de equilibrio, compatibilidad de deformaciones, y relaciones constitutivas.
Buscamos caracterizar el comportamiento del elemento sometido a cargas de flexión para el rango elástico e inelástico.
Vamos a considerar el comportamiento a flexión de un perfil rectangular asumiendo que es incondicionalmente estable y se encuentra sometido a un momento incremental.
Inicialmente, tomando en cuenta la relación constitutiva del material, la sección responde de forma elástica, y por lo tanto el momento es directamente proporcional a la curvatura (tomando en cuenta la hipótesis que secciones planas permanecen planas posterior a la deformación). El comportamiento elástico de la sección se mantiene hasta que la fibra extrema en tensión alcance la deformación unitaria e fluencia.
Para la sección mostrada en la figura, el momento externos aplicado es equilibrado por el par interno resultante de los esfuerzos inducidos, siendo:
$$ M=C \times \frac{2}{3}d= \left[ \frac{1}{2}f \frac{d}{2}b \right] \left[ \frac{2}{3}d \right]=f \left[ \frac{bd^2}{6} \right] $$
$$ M=f \left[ \frac{bd^2}{6} \right]=fS $$
Donde,
$f$ es el esfuerzo en la fibra extrema de la sección
$S$ es el modulo de la sección para flexion. En esencia el modulo de sección describe la relación entre la carga y el esfuerzo máximo. De cierta forma se puede pensar al modulo de sección como la propiedad elástica de resistencia de la sección.
La curvatura y la deformación unitarias son relacionadas a traves del diagrama de deformaciones unitarias de la sección, donde se asumió la hipótesis de que secciones planas permanecen planas posterior a la deformación, y tomando en cuenta la teoría de deformaciones pequeñas; obtenemos:
$$ \phi=\frac{\epsilon}{d/2} $$
Teniendo en cuenta que estamos trabajando en el rango elástico, sabemos a partir de las relaciones constitutivas del materia que:
$$ f=\epsilon E $$
Si combinamos las relaciones obtenidas a través de los principios de equilibrio, relaciones constitutivas, y la compatibilidad de deformaciones, obtenemos:
$$ \phi=\frac{f}{E(d/2)}=\frac{6M}{bd^2} \times \frac{2}{Ed}=\frac{M}{E} \left( \frac{12}{EI} \right)=\frac{M}{EI} $$