Para $t\leq t_r$:
Para $t> t_r$
Consideramos el caso donde una fuerza es aplicada de manera incremental hasta llegar al valor $P_O$ y después se mantiene constante.
En este caso la excitación tiene dos fases, el incremento y la fase constante.
Para esto separamos el problema en las dos fases. En el caso de la fase incemental, donde $t\leq t_r$:
Para el caso donde la fuerza es constante, $t> t_r$
$$ x_{(t)}=x_{(t)}^{VIBRACION \space LIBRE \space USANDO \space x(t) \space y \space \dot{x}(t)}+x_{(t)}^{FUERZA \space CONSTANTE \space INTEGRAL \space DUHAMEL} $$
$$ x_{(t)}=x(t_r).\cos(w_n.(t-t_r))+\frac{\dot{x}(tr)}{w_n}.\sin(w_n.(t-t_r))+\frac{P_o}{k}\times(1-\cos(w_n\times(t-t_r))) $$
Evaluamos las condiciones iniciales en el instante $t=t_r$, estas son el resultado de la fase incremental en el tiempo $t=t_r$
$$ x(tr)=\frac{P_o}{k}\times \left( \frac{t_r}{t_r}-\frac{\sin(w_n.t_r)}{w_n.t_r} \right) $$
$$ x(tr)=\frac{P_o}{k}\times \left( 1-\frac{\sin(w_n.t_r)}{w_n.t_r} \right) $$
$$ \dot{x}(tr)=\frac{P_o}{k}\times \left( \frac{t_r}{t_r}-\frac{w_n.\cos(w_n.t_r)}{w_n.t_r} \right) $$
$$ \dot{x}(tr)=\frac{P_o}{k}\times \left( 1-\frac{\cos(w_n.t_r)}{t_r} \right) $$