Secciones planas permaneces planas despues de la deformacion
Teoria de pequeñas deflexiones
$$ \theta=\frac{d\Delta}{dx} $$
$$ \theta^2=\left(\frac{d\Delta}{dx} \right)^2 \approx0 $$
$$ \sin \theta \approx\theta $$
$$ \cos \theta \approx 0 $$
La Ecuacion de Bernoulli-Euler
La teoria deduce la siguiente expresion:
$$ \phi=\frac{d^2\Delta}{dx^2}= \frac{M}{EI} $$
Donde,
$\frac{d^2\Delta}{dx^2}$ es la segunda derivada de la deflexión respecto a $x$ (también conocida como la curvatura $\phi$)
$M$ es el momento en la viga en la posición $x$
$E$ es el modulo de elasticidad del material
$I$ es la inercia del elemento
Deduccion
La deformacion de una fibra arbitraria $ab$ localizada a una distancia $y$ del eje neutro puede ser expresada usando:
$$ d\Delta=a'b'-ab= d\theta \times R -d\theta \times (R-y)= -yd\theta $$
Por lo tanto la deformación unitaria en la fibra $ab$ es igual a:
$$ \epsilon = \frac{d\Delta}{dx}= \frac{d\Delta}{ds}= -\frac{yd\theta}{Rd\theta}= -\frac{y}{R} $$
Donde, $R$ es el radio de curvatura de la sección
A partir del uso de relaciones constitutivas lineales elásticas, obtenemos:
$$ \epsilon=\sigma/E $$
$$ \sigma=-\frac{Ey}{R} $$
Donde podemos concluir que el esfuerzo en las fibras varia linealmente en funcion de la distancia del eje neutro.
Si, $\sigma_c$ representa el esfuerzo en la fibra extrema ubicada a una distancia $c$ del eje neutro, obtenemos:
$$ \sigma=\frac{y}{c}\sigma_c $$
Para mantener el equilibrio de la seccion, sabemos que:
$$ M=\int_A \underbrace{-\sigma dA}_{fuerza} \overbrace{y}^{distancia} $$
$$ M=-\int_A \left(\frac{y}{c}\sigma_c \right) (dA)(y)= -\frac{\sigma_c}{c} \int_A y^2dA $$
$$ M=-\frac{\sigma_c}{c}I $$
$$ \sigma_c=-\frac{Mc}{I} $$
Lo cual puede ser tambien expresado como:
$$ \sigma=-\frac{My}{I} $$
La relacion entre el momento y la curvatura es obtenida mediante:
$$ \frac{1}{R}=\frac{M}{EI} $$
Para expresar esta relacion en cordenadas cartecianas recurimos al teorema de la curvatura, donde:
$$ \frac{1}{R}=\frac{d^2y/dx^2}{\left[ 1+(dy/dx)^2 \right]^{3/2}} $$
Usando la teoria de pequeñas delexiones la expresion se reduce a:
$$ \phi=\frac{1}{R} \approx \frac{d^2y}{dx^2} $$
Introduciomos el termino $\phi$ para representar la curvatura
Donde $y$ representa la deflexion de la viga, de esta forma obtenemos:
$$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\theta}{dx}=\frac{M}{EI} $$
Ejercicio 1
Ejercicio 2
clear variables
clc
% Ejercicio de integracion directa
syms x C1 C2 C3 C4 C5 C6
E=2*10^6;
I=0.3*0.4^3/12;
M_ac=4*x;
M_cb=40-6*x;
M_bd=-x^2/2+12*x-72;
% Solucion
O_ac=int(M_ac,x);
O_ac=O_ac/(E*I)+C1
d_ac=int(O_ac,x)+C2
O_cb=int(M_cb,x);
O_cb=O_cb/(E*I)+C3
d_cb=int(O_cb,x)+C4
O_bd=int(M_bd,x);
O_bd=O_bd/(E*I)+C5
d_bd=int(O_bd,x)+C6
% Condiciones de borde
EQ1=d_ac==0;
EQ1=subs(EQ1,[x],[0])
EQ2=d_cb==0;
EQ2=subs(EQ2,[x],[8])
EQ3=d_bd==0;
EQ3=subs(EQ3,[x],[8])
EQ4=O_cb==O_bd;
EQ4=subs(EQ4,[x],[8])
EQ5=d_ac==d_cb;
EQ5=subs(EQ5,[x],[4])
EQ6=O_ac==O_cb;
EQ6=subs(EQ6,[x],[4])
a=solve(EQ1,EQ2,EQ3,EQ4,EQ5,EQ6)
coeficientes=[double(a.C1) double(a.C2) double(a.C3) double(a.C4) double(a.C5) double(a.C6)]
% Definimos las funciones
d_ac=subs(d_ac,[C1 C2 C3 C4 C5 C6], coeficientes)
d_cb=subs(d_cb,[C1 C2 C3 C4 C5 C6], coeficientes)
d_bd=subs(d_bd,[C1 C2 C3 C4 C5 C6], coeficientes)
O_ac=subs(O_ac,[C1 C2 C3 C4 C5 C6], coeficientes)
O_cb=subs(O_cb,[C1 C2 C3 C4 C5 C6], coeficientes)
O_bd=subs(O_bd,[C1 C2 C3 C4 C5 C6], coeficientes)
% Ploteamos deflexion
figure
grid on
hold on
fplot(d_ac*100, [0 4],'b')
hold on
fplot(d_cb*100, [4 8],'b')
hold on
fplot(d_bd*100, [8 12],'b')
% Ploteamos rotacion
figure
grid on
hold on
fplot(O_ac, [0 4],'b')
hold on
fplot(O_cb, [4 8],'b')
hold on
fplot(O_bd, [8 12],'b')
d_4=subs(d_ac,[x],[4])*100
Referencias
3.3 Arc Length and Curvature - Calculus Volume 3 | OpenStax