Formulación General

Podemos resolver este problema realizando un procedimiento de condensación de la matriz de rigidez del elemento. Para esto asumamos que tenemos la matriz de rigidez del elemento (en coordenadas globales o locales)

$$ [A]=[S][D] $$

Si buscamos liberar uno o mas grados de libertad del elemento sabemos que las fuerzas asociadas con dicho grado de libertad son cero, por lo tanto:

$$ \begin{bmatrix} A_c\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} S_{cc}&S_{c0}\\ S_{0c}&S_{00} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} D_c\\ D_0 \end{bmatrix} $$

Al expandir la matriz condensada obtenemos:

$$ [A_c]=[S_{cc}][D_c]+[S_{c0}][D_0] $$

$$ [0]=[S_{0c}][D_c]+[S_{00}][D_0] $$

Donde:

$$ [D_0]=-[S_{00}]^{-1}[S_{0c}][D_c] $$

Remplazando esta expresión en $[A_c]$ obtenemos:

$$ [A_c]=([S_{cc}]-[S_{c0}][S_{00}]^{-1}[S_{0c}])[D_c] $$

Donde $[A_c]$ corresponde a la matriz de rigidez del elemento con las articulaciones. Sin embargo, es conveniente manejar la matriz con el mismo tamaño que la matriz original, por lo tanto se debe introducir una fila y columna de ceros en los lugares donde se condenso los grados de libertad. Para logar esto podemos determinar la matriz de rigidez del elemento articulado utilizando la siguiente expresión:

$$ [A]=([S]-\{S_{1}\}S_{0}^{-1}\{S_{2}\})[D] $$

Donde $[S]$ es la matriz de rigidez original

$\{S_{1}\}$ es el vector formado por la columna de la matriz de rigidez original correspondiente al grado de libertad que se busca liberar

$S_{0}^{-1}$ es el inverso del termino de la diagonal de la matriz de rigidez original correspondiente al grado de libertad que se busca liberar

$\{S_{2}\}$ es el vector formado por la fila de la matriz de rigidez original correspondiente al grado de libertad que se busca liberar