El objetivo es determinar la ecuación de las acciones de una barra, de manera que podamos relacionar los desplazamientos con las acciones en los dos extremos del elemento.
Las ecuaciones de elemento finitos nos sirven para determinar las matrices de rigidez de los elementos. Es importante tener en cuenta que estas matrices pueden ser derivadas de varias formas.
<aside> 💡 Una ventaja de las ecuaciones de elementos finitos es que nos permiten derivar las matrices de rigidez para cualquier tipo de elemento.
</aside>
El metodo directo de la rigidez esta basado en el equilibrio del nudo mediante la aplicación de superposición de fuerzas, por lo tanto se van a sumar las rigideces individuales de los elementos para obtener una matriz de rigidez ensamblada de toda la estructura y poder resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los desplazamiento de los nudos libre y posteriormente determinar las fuerzas internas de los elementos y las reacciones de los nudos.
Estudiamos le caso de un resorte sometido a la accion de unas fuerzas en sus extremos.
Podemos ver que la deformación esta relacionada a la fuerza mediante la constante del resorte (Ley de Hooke)
$$ P=k\delta $$
Si consideramos el caso de una barra, tenemos:
Si analizamos las ecuaciones obtenidas, podemos ver que en el caso (común) que los desplazamientos $D_1$ y $D_2$ sean diferentes la barra se va a alargar o acortar, es decir va a tener un cambio de longitud $\Delta L$.
Adicionalmente vemos que las fuerzas de las barras deben estar en equilibrio, y esto se puede ver expresado en los signos de las matriz, donde:
$$ \begin{bmatrix} A_{jj}&A_{kj}\\ A_{kj}&A_{kk} \end{bmatrix} $$
Para deducir la matriz de rigidez a través de las matrices de transformación vamos a movernos entre los sistemas básicos, locales, y globales.
<aside> 💡 El principio del la energía potencial mínima dice: Para todas las posibles configuraciones de una estructura, la configuración “real” es la que resulta en la energía potencial total mínima
</aside>
