Sabemos que conocemos $i$, y queremos encontrar $i+1$
Las ecuaciones (EOM) conocidas son:
$$ m\ddot{x}_i+c\dot{x}_i+kx_i=P_i $$
$$ m\ddot{x}{i+1}+c\dot{x}{i+1}+kx_{i+1}=P_{i+1} $$
Las ecuaciones de las variaciones de aceleraciones son:
$$ \ddot{x}{\tau}=\frac{1}{2}(\ddot{x}{i+1}+\ddot{x}_i) \qquad - \qquad CONSTANTE $$
$$ \ddot{x}_{\tau}=\ddot{x}i + \frac{\tau}{\Delta t}(\ddot{x}{i+1}-\ddot{x}_i) \qquad - \qquad LINEAL $$
$$ \dot{x}\tau = \int \ddot{x}{\tau} d\tau=\overbrace{\frac{1}{2}(x_i+x_{i+1})}^{CONSTANTE=A}d\tau=Ad\tau $$
$$ \dot{x}_i=A\tau+C_1 $$
$$ \dot{x}(i)=\dot{x}_i \qquad \rightarrow \qquad C_1=\dot{x}_i $$
$$ \dot{x}_{\tau}=\dot{x}_i+\frac{\tau}{2}(\ddot{x}i+\ddot{x}{i+1}) $$
Evaluamos la expresión en $\tau=\Delta t$
$$ \dot{x}(\Delta t)=\dot{x}_{i+1} $$
$$ \dot{x}_{i+1}=\dot{x}_i+\frac{\Delta t}{2}(\ddot{x}i+\ddot{x}{i+1}) $$
Para determinar la aceleración:
$$ x_{\tau}=\int \dot{x}_{\tau}d\tau=\overbrace{\dot{x}_idt}^{CONST.=A}+\tau \times \overbrace{ \frac{(\ddot{x}i+\ddot{x}{i+1})}{2}dt}^{CONSTANTE=B}=(A+B\tau)dt $$
$$ x_\tau=A\tau+\frac{B}{2}\tau^2+C_2 $$
$$ x(i)=x_i \qquad \rightarrow \qquad C_2=x_i $$