Este metodo esta basado en la aproximación de diferencias finitas de las derivadas de tiempo de desplazamiento (es decir, velocidad y aceleración).

Si tenemos una función de desplazamiento $x_{(t)}$, buscamos encontrar la pendiente a la funcion en el punto $i$. Esto puede ser aproximado calculado el promedio entre las pendientes de los intervalos $i-1$ a $i$ y $i$ a $i+1$

$$ \dot{x}i \simeq \frac{1}{2} \left(\frac{x_i-x{i-1}}{\Delta t} + \frac{x_{i+1}-x_i}{\Delta t} \right) $$

$$ \dot{x}i \simeq \frac{1}{2} \left(\frac{x{i+1}-x_{i-1}}{\Delta t} \right) $$

Para la aceleración realizamos una aproximación similar con las velocidades. Primero determinamos las pendientes entre los intervalos:

$$ \dot{x}1=\frac{x_i-x{i-1}}{\Delta t} \qquad y \qquad \dot{x}2=\frac{x{i+1}-x_i}{\Delta t} $$

La aceleración corresponde a:

$$ \ddot{x}_i=\frac{\dot{x}_2-\dot{x}_1}{\Delta t} $$

$$ \ddot{x}i=\frac{x{i+1}-2x_i+x_{i-1}}{\Delta t^2} $$

Si tomamos $\Delta t$ como una constante, la definiciones para velocidad y aceleración es:

$$ \dot{u}i=\frac{u{i+1}-u_{i-1}}{2 \Delta t} $$

$$ \ddot{u}i=\frac{u{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{(\Delta t)^2} $$

Asumimos que conocemos $x_i$ y $x_{i-1}$ del paso previo $i-1$

$$ m\ddot{u}_i+c\dot{u}_i+ku_i=P_i $$

$$ m\times \left( \frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{(\Delta t)^2} \right)+c\times \left(\frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2 \Delta t} \right)+ku_i=P_i $$

Si re-arreglamos los términos:

$$ \overbrace{ P_i-\left[ \frac{m}{\Delta t^2}-\frac{c}{2\Delta t} \right]\times x_{i-1}- \left[ k-\frac{2m}{\Delta t^2} \right] \times x_i}^{CONOCIDOS:} = \overbrace{ \left[ \frac{m}{\Delta t^2}+\frac{c}{2\Delta t} \right] \times x_{i+1} }^{DESCONOCIDO} $$

$$ \overbrace{ P_i-\left[ \frac{m}{\Delta t^2}-\frac{c}{2\Delta t} \right]\times x_{i-1}- \left[ k-\frac{2m}{\Delta t^2} \right] \times x_i }^{\hat{P_i}}= \overbrace{ \left[ \frac{m}{\Delta t^2}+\frac{c}{2\Delta t} \right] }^{\hat{k}} \times x_{i+1} $$