https://www.youtube.com/watch?v=uUQtz1wlMNw&ab_channel=NicolasMoraBowen

Se busca establecer un procedimiento formar donde se ensamble la matriz de rigidez a partir de la contribución de las rigideces relativas de cada de los elementos individuales. Para esto se va a utilizar el principio de trabajo virtual.

La matriz de rigidez, correspondiente a un elemento individual, corresponde a:

$$ [a_{Mi}]=[s_{Mi}][d_{Mi}] $$

Donde la matriz de rigidez del elemento ($i$) $S_{Mi}$ relaciona las acciones del extremo del elemento a los desplazamientos del extremo del elemento. En la deducción de la matriz de rigidez se determino el extremo $k$ como el extremo libre.

$$ \begin{bmatrix} a_{M1}\\ a_{M2}\\ \vdots\\ a_{Mi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_{M1}&0&\dots&0\\ 0&s_{M2}&\dots&0\\ 0&0&\dots&0\\ 0&0&\dots&s_{Mi}

\end{bmatrix} \begin{bmatrix} d_{M1}\\ d_{M2}\\ \vdots\\ d_{Mi}\\ \end{bmatrix} $$

Si generamos una matriz general que contenga todas la rigideces relativas del sistema obtenemos:

<aside> 💡 La matriz combinada $S_{M}$ corresponde a la matriz de rigidez no ensamblada. Los vectores $a_M$ y $d_M$ contienen las acciones de extremo de elemento ($k$) y desplazamientos relativos de elemento para toda la estructura.

</aside>

Para poder resolver el sistema de ecuaciones se va a transformar el vector $D_M$ de tal manera que quede ordenado con los desplazamiento libres y los restringidos, para lo cual:

$$ [d_M]=\overbrace{[C_{MJ}]}^{Matriz \space transf.}[D_J]=[C_{MF} \space C_{MR}] \begin{bmatrix} D_F\\ D_R \end{bmatrix} $$

Donde, $C_{MJ}$ representa la matriz de transformación de desplazamientos, y esta compuesta de la matriz de transformación de desplazamientos de los nudos libres y la matriz de transformación de desplazamiento de los nudos restringidos.

Si no existen desplazamientos en los apoyos, la matriz $D_R$ es igual a $0$.

<aside> 💡 Los elementos de la matriz $C_{MJ}$ son determinados a partir de consideraciones de compatibilidad. Esta es llamada la matriz de compatibilidad o matriz cinematica.

</aside>

Cada columna de la matriz $C_{MF}$ contiene los desplazamientos del miembro producto de la aplicación de un valor unitario de desplazamiento de nudo desconocido en la estructura restringida.

<aside> 💡 Para calcular la matriz $C_{MJ}$ aplicamos la deformacion unitaria en cada uno de los grados de libertad (libres y restringidos) de la estructura de manera independiente. Asumimos que cada barra se deforma de manera independiente. Imaginamos la deformacion de cuerpo rigido del elemento, y buscamos las deformaciones que hay que aplicar al extremos del elemento para llevar el apoyo a la posicion original.

</aside>

De igual manera, cada columna de la matriz $C_{MR}$ contiene los desplazamientos del miembro producto de un valor unitario de un desplazamiento del soporte estructura restringida.

Si consideramos la aplicación arbitraria de desplazamientos unitarios en todos los nudos de la estructura (tanto en nudos libres como en restringidos), obtenemos:

$$ \delta[d_M]=[C_{MJ}]\delta[D_J]=[C_{MF} \space C_{MR}] \begin{bmatrix} \delta D_F\\ \delta D_R \end{bmatrix} $$