Las EOM para un sistema sometido a excitaciones en la base es:

$$ [M][\ddot{X}]+[K][X]=-[M][\gamma][\ddot{x_g}] $$

La solución de la EOM se obtiene mediante el desacople del sistema producto de la transformación:

$$ [X]=[\phi][V] $$

Lo cual, si derivamos dos veces resulta en:

$$ [\ddot{X}]=[\phi][\ddot{V}] $$

Esto reemplazado en la EOM, resulta en:

$$ [M][\phi][\ddot{V}]+[K][\phi][V]=-[M][\gamma][\ddot{x_g}] $$

Si multiplicamos todo por $[\phi]^T$, obtenemos:

$$ \underbrace{[\phi]^T[M][\phi]}{[I]}[\ddot{V}]+\underbrace{[\phi]^T[K][\phi]}{[\omega^2]}[V]=-\underbrace{[\phi]^T[M][\gamma]}_{[\alpha]}[\ddot{x_g}] $$

El vector $\alpha$ es conocido como coeficientes de participación

Esto nos permite tener un sistema de ecuaciones desacopladas, las cuales pueden ser caracterizadas como SDOF:

$$ \ddot{V_i}+\omega_i^2V_i=-\alpha_i\ddot{x}_g $$

Si se aplica amortiguamiento al nivel modal, obtenemos:

$$ \ddot{V_i}+2\xi_i\omega_i\dot{V}_i+\omega_i^2V_i=-\alpha_i\ddot{x}_g $$

<aside> 💡 Estas ecuaciones pueden ser resueltas por metodos numéricos, integral de Duhamel, o soluciones cerradas.

</aside>

Una vez obtenida la respuesta en coordenadas modales, es posible obtener la respuesta en coordenadas estructurales mediante:

$$ [U]=[\phi][V] $$

$$ [U]=[\phi][V]=\sum_{i=1}^n [\phi_i]V_i(t)=[\phi_1]V_1(t)+[\phi_2]V_2(t)+...+[\phi_n]V_n(t) $$