Piecewise Exact Method (PEM) → un metodo de solución paso a paso

La respuesta estructural es determinada paso a paso como un resultado de analisis lineales de corta duración realizados consecutivamente

Entre las fortalezas del metodo están:

• Al final de cada intervalo es posible actualizar los parámetros tanto de la carga, como de la estructura. De esta forma se puede trabajar con estructuras que presenten un comportamiento no lineal y también con cargas externas que varíen en función de la respuesta estructural
• Se modela la respuesta del intervalo, como la respuesta de la estructura ante una carga incremental
• En el intervalo discreto se asume comportamiento lineal elástico

Consideramos una fuerza $P_{(t)}$, y la representamos dentro de un intervalo de tiempo discreto asumiendo que varia linealmente en cada intervalo, como esta en la figura:

Si evaluamos un intervalo de tiempo discreto, tenemos:

Si el intervalo de tiempo $t_{n+1}-t_n$ es (suficientemente) pequeño, el error introducido al asumir una approximation lineal es depreciable. Y la carga puede ser representada como una función

$$ P_{(\tau)}=P_{n}+\frac{P_{n+1}-P_n}{\Delta t}\times \tau $$

Por lo tanto la ecuación del movimiento que describe el comportamiento del sistema es:

$$ m\ddot{u}+x\dot{u}+ku=P_{n}+\frac{P_{n+1}-P_n}{\Delta t}\times \tau $$

Podemos determinar una solución analítica a la ecuación del movimiento utilizando principios de superposición. (En el intervalo discreto de tiempo estamos asumiendo comportamiento lineal elástico)

La solución a esta EOM tiene tres componentes:

1. La vibración libre con la posición inicial $u_n$ y la velocidad $\dot{u}_n$ en el tiempo $t_n$
2. El componente producto de la fuerza constante de magnitud $P_n$
3. El componente producto de la fuerza incremental $\frac{P_{n+1}-P_n}{\Delta t}\times \tau$

La solución de cada uno de estos componentes es determinada resolviendo la ecuación diferencial o mediante la integral de Duhamel.