Las ecuaciones de rigidez representan un set de ecuaciones lineales algebraicas con la forma:
$$ [A_n]=[S_n][D_n] $$
Donde la matriz $[S_n]$ es la matriz de rigideces en el nudo $n$, el vector $[A_n]$ representan las acciones del nudo $n$, y el vector $[D_n]$ representan los desplazamientos del nudo $n$.
Los elementos de la matriz $k_{ij}$ son conocidos como coeficientes de rigidez, y estos representan las fuerzas inducidas en el nudo $i$ producto de un desplazamiento unitario en el nudo $j$ cuando todos los demás grados de libertad se encuentran restringidos.
Si analizamos las fuerzas en el nudo $j$ y nudo $k$ requeridas para imponer un desplazamiento unitario en el nudo $j$, obtenemos:
$$ [S_n]= \begin{bmatrix} k_{jj}&...\\ k_{kj}&... \end{bmatrix} $$
Donde, $k_{jj}$ representa las fuerzas requeridas en el nudo $j$ para producir un desplazamiento unitario en el nudo $k$ sin que ocurran otros desplazamiento en los demás grados de libertad. Las fuerzas dadas por el termino $k_{kj}$ corresponden a las reacciones requeridas en el sistema para mantener el equilibro, mismas que pueden ser expresadas como las fuerzas inducidas en $k$ producto de un desplazamiento unitario en $j$ cuando los demás grados de libertad se encuentran restringidos.
Si analizamos las fuerzas en el nudo $j$ y nudo $k$ requeridas para imponer un desplazamiento unitario en el nudo $j$, obtenemos:
$$ [S_n]= \begin{bmatrix} ...&k_{jk}\\ ...&k_{kk} \end{bmatrix} $$
Donde, $k_{kk}$ representa las fuerzas requeridas en el nudo $k$ para producir un desplazamiento unitario en el nudo $k$ sin que ocurran otros desplazamiento en los demás grados de libertad. Las fuerzas dadas por el termino $k_{jk}$ corresponden a las reacciones requeridas en el sistema para mantener el equilibro, mismas que pueden ser expresadas como las fuerzas inducidas en $j$ producto de un desplazamiento unitario en $k$ cuando los demás grados de libertad se encuentran restringidos.
<aside> 💡 Por lo tanto podemos decir que las fuerzas en cada column son las fuerzas requeridas en el sistema para mantener el equilibrio
</aside>
Por lo tanto, podemos determinar la siguiente expresión:
$$ \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix} = \frac{EA}{L} \begin{bmatrix} 1&-1\\ -1&1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} d_1\\ d_2 \end{bmatrix} $$
Podemos ver que las ecuaciones de equilibrio $\sum F_X=0$ se cumplen para cada columna.
Adicionalmente podemos ver que la matriz es simétrica, esto es una consecuencia de la reciprocidad de los desplazamientos (Ley de Betti).
En la matriz de rigidez global para el elemento se asocian todas las fuerzas nodales con todos los grados de libertad. Por eso la matriz de rigidez es matemáticamente singular. Esto físicamente se puede expresar como un producto de los desplazamientos de cuerpo rígido que existen en los grados de libertad. Por ejemplo, en la barra, para poder definir los términos de la primera columna de la matriz de rigidez, el miembro tuvo que ser restringido en el nudo $k$; de no haber sido este el caso la barra se hubiera desplazado libremente en el espacio.