Las EOM para un sistema sometido a excitaciones en la base es:

$$ [M][\ddot{X}]+[K][X]=-[M][\gamma][\ddot{x_g}] $$

La solución de la EOM se obtiene mediante el desacople del sistema producto de la transformación:

$$ [X]=[\phi][V] $$

Lo cual, si derivamos dos veces resulta en:

$$ [\ddot{X}]=[\phi][\ddot{V}] $$

Esto reemplazado en la EOM, resulta en:

$$ [M][\phi][\ddot{V}]+[K][\phi][V]=-[M][\gamma][\ddot{x_g}] $$

Si multiplicamos todo por $[\phi]^T$, obtenemos:

$$ \underbrace{[\phi]^T[M][\phi]}{[I]}[\ddot{V}]+\underbrace{[\phi]^T[K][\phi]}{[\omega^2]}[V]=-\underbrace{[\phi]^T[M][\gamma]}_{[\alpha]}[\ddot{x_g}] $$

El vector $\alpha$ es conocido como coeficientes de participación

Esto nos permite tener un sistema de ecuaciones desacopladas, las cuales pueden ser caracterizadas como SDOF:

$$ \ddot{V_i}+\omega_i^2V_i=-\alpha_i\ddot{x}_g $$

Si se aplica amortiguamiento al nivel modal, obtenemos:

$$ \ddot{V_i}+2\xi_i\omega_i\dot{V}_i+\omega_i^2V_i=-\alpha_i\ddot{x}_g $$

<aside> 💡 Estas ecuaciones pueden ser resueltas por metodos numéricos, integral de Duhamel, o soluciones cerradas.

</aside>

Una vez obtenida la respuesta en coordenadas modales, es posible obtener la respuesta en coordenadas estructurales mediante:

$$ [U]=[\phi][V] $$

$$ [U]=[\phi][V]=\sum_{i=1}^n [\phi_i]V_i(t)=[\phi_1]V_1(t)+[\phi_2]V_2(t)+...+[\phi_n]V_n(t) $$

El espectro respuesta representa las máximas aceleraciones, velocidades, y desplazamientos de un SDOF sometido a un registro sísmico para un nivel de amortiguamiento especifico.

Esto quiere decir que el máximo valor que puede tomar $V_i$, corresponde al valor que puede ser leído en el espectro respuesta amplificado por el factor de corrección $\alpha_i$, por lo tanto:

$$ (V_i){max}=|\alpha_i\times D(T{ni},\xi_i)| $$

Donde:

$\xi_i$ corresponde al amortiguamiento del modo

$T_{ni}=\frac{2\pi}{w_{i}}$ corresponde al periodo natural del modo

$|D(T_{ni},\xi_i)|$ corresponde al valor de la respuesta espectral

Alternativamente, si se conoce el valor del pseudo espectro de aceleraciones la expresión puede ser representada como:

$$ (V_i){max}=|\alpha_i\times \frac{1}{\omega{ni}^2} \times A(T_{ni},\xi_i)| $$

$$ (V_i){max}=|\alpha_i\times \frac{T{ni}^2}{4\pi^2} \times A(T_{ni},\xi_i)| $$

<aside> 💡 Ya que los máximos valores de la respuesta (aceleración, velocidad, y desplazamiento) contenidos en el espectro no ocurren al mismo tiempo, seria un error aplicar una transformación de coordenadas de manera directa para obtener la maxima respuesta en coordenadas de estructura

</aside>

<aside> 💡 Adicionalmente también se debe tener en cuenta que al utilizar los máximos valores en el espectro se pierde el signo de la repuesta

</aside>

Recordamos que en el analisis modal la superposición de las respuestas modales esta dada por:

$$ [U]=[\phi][V]=\sum_{i=1}^n [\phi_i]V_i(t)=[\phi_1]V_1(t)+[\phi_2]V_2(t)+...+[\phi_n]V_n(t) $$

Si utilizamos esta expresión para combinar las respuestas máximas, en principio la magnitud de las respuestas modales individuales son correctas, sin embargo, hay que tener en cuenta que no sabemos su signo “real” y estas no ocurren en el mismo instante de tiempo.

Los desplazamientos modales máximos individuales pueden ser representados como:

$$ [X_i^{modo}]=[\phi_i]V_i^{max}=[\phi_i]\times|\alpha_i\times D(T_{ni},\xi_i)| $$